Première identité remarquable

Propriété Première identité remarquable (carré d'une somme)

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a l'égalité suivante : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Vocabulaire

\(2ab=2\times a\times b\) est appelé le double produit.

Remarque

Une égalité se lit dans les deux sens. 

• Lorsqu'on lit la première identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
  
• Lorsqu'on lit la première identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
  

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels, on a \(ab=ba\).
D'après la double distributivité, on a :
\((a+b)^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2 +2ab+b^2\).

Exemples Développement

Développons les expressions suivantes en utilisant la première identité remarquable.

• \((3+x)^2=3^2 +2\times 3\times x+x^2=9+6x+x^2\).
  
• \((4x+2)^2=\color{red}(4x\color{red})^2+2\times 4x\times2+2^2=16x^2+16x+4\). Ne pas oublier les parenthèses autour de \(4x\) !
• \(\left(\dfrac{1}{2}+x\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2\times \dfrac{1}{2}\times x+x^2=\dfrac{1}{4}+x+x^2\). Ne pas oublier les parenthèses autour de \(\dfrac{1}{2}\) !

Exemples Factorisation

Factorisons les expressions suivantes grâce à la première identité remarquable.
\(1+2x+x^2=1^2+2\times 1\times x+x^2=(1+x)^2\).
\(4+12x+9x^2=2^2+2\times2\times 3x+(3x)^2=(2+3x)^2\).

Exemple Application pour le calcul numérique

Écrivons le nombre \((1+\sqrt{5})^2\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) , où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels positifs.
\((1+\sqrt{5})^2=1^2 +2\times 1\times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}\).

Remarque

Pour calculer \((1+4)^2\) , il est inutile d'utiliser la première identité remarquable.
En effet, on a : \((1+4)^2=5^2=25\).